Математика буває цікавою
П'ЯТЬ ПРОСТИХ КРОКІВ НА ШЛЯХУ ПОШУКУ РОЗВ'ЯЗКУ ЛОГІЧНОЇ ЗАДАЧІ:
- Завжди робіть таблицю, у ній ви зможете враховувати всі ймовірні варіанти.
- Уважно читайте кожне твердження. По-справжньому уважно. Звичайно кожне твердження містить щось таке, що дозволить вам спростувати хоча б один із варіантів.
- Намагайтесь відшукати головне твердження. У складних задачах воно може стояти не спочатку і навіть не на другому місці, але воно обов'язково є. Найімовірніше, головним буде третє або четверте твердження. Але пам'ятайте: у логічних задачах не існує сталих правил.
- Після того як переглянули всі твердження й викреслили ті з них, безглуздість яких видно неозброєним оком, порівняйте ті, що залишилися, між собою й визначте зв'язки та протиріччя.
- Розв'язок можна знайти простим методом послідовних виключень. Тільки не відступайте, якщо не можете розв'язати задачу. Як тільки зрозумієте принцип побудови такої задачі, ви почнете "лускати" їх, як горішки. А чим більше будете тренуватися, тим краще це буде виходити.
ЗАДАЧІ
1. На всесвітньому фестивалі молоді зустрілись 6 делегатів. Виявилось, що серед будь-яких трьох з них двоє можуть порозумітися між собою якоюсь мовою. Доведіть, що тоді найдеться 3 делегатів, кожен з яких може порозумітись з кожним.
2. Маємо 2 купи каміння. Гра складається з того, що кожен із двох гравців по черзі забирає будь-яку кількість камінців тільки з однієї купи. Виграє той, хто бере останнім. Знайти спосіб гри, який забезпечує виграш тому гравцеві, який може або розпочати гру, або надати перший хід своєму партнеру.
3. З картону вирізано 2 правильних восьмикутники. У вершинах одного з них поставлені по черзі (навпроти годинникової стрілки) числа від 1 до 8. Чи можна розставити в вершинах другого восьмикутника ті самі числа так, щоб у будь-якому накладенні другої фігури на першу яка-небудь вершина потрапляла у вершину з тим самим номером.
4. Щоденно впродовж року учень розв'язував не менше однієї задачі кожного дня, при цьому кожного тижня він розв'язував не більше як 12 задач. Довести, що знайдеться декілька послідовних днів, в які він розв'язував 20 задач.
5. В школі 740 учнів. Довести, що троє з них в один і той же день святкують свій день народження.
6. З 61 монети за 4 зважування відокремити фальшиву (вона тяжча, ніж інші).
7. Кожен із трьох друзів зіграв однакову кількість шахових партій з іншим. При цьому вияснилось, що перший з них виграв найбільшу кількість партій, другий програв найменшу кількість партій, а третій набрав найбільшу кількість очків. Чи могло так бути? Якщо ні, то доведіть. Якщо так, то наведіть приклад.
8. Вчитель перевірив роботи трьох учнів - Олексієва, Василенка і Сергієнка, але не приніс у клас. Учням він сказав: "Один із вас отримав "3", другий - "4", а третій - "5". У Сергієнка не "5", у Василенка не "4", а у Олексієва, здається, "4".
Коли принесли зошити, то виявилось, що вчитель тільки одному учневі сказав правильну оцінку, двом іншим - неправильну. Які оцінки отримали учні?
9. Є 5 монет, серед яких одна - фальшива. Невідомо, легше вона або тяжча дійсної. Вага дійсної монети - 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна знайти фальшиву монету, маючи одну гирю вагою 5 г?
10. Три розбійника хочуть поділити здобич порівну. Кожен з них упевнений, що тільки він поділить здобич на рівні частини, але інші не мають довіри до нього. Якщо б розбійників було двоє, тоді було б легше вийти з цього становища: один розділив би здобич на 2 частини, а другий взяв би ту частину, яка здавалась йому більшою. Як повинні діяти розбійники, щоб кожен з них був упевнений, що його здобич не менше третьої частини всієї здобичі?
11. Плитка шоколаду складається з 35 квадратиків (7 5). Ламають по прямих, які ділять квадратики до тих пір, поки не одержать окремі 35 квадратиків. Скільки разів потрібно поділити шоколадку?
12. Яку найбільшу кількість слонів можна розташувати на шаховій дошці, щоб ані один із слонів не був під подвійною бійкою?
13. Серед трьох монет одна фальшива (вона легше, ніж дві інші однакової ваги). За допомогою одного зважування на терезах (без гир) знайти фальшиву монету.
14. Трьом учням в темній кімнаті одягли на голову по чорній шапці. Перед ними поставлено завдання відгадати, хто в якій шапці, якщо всього шапок 5, причому 2 з них - сірі, а 3 - чорні. Сірі шапки сховали перед тим, як у кімнаті запалили світло. Через деякий час один учень відгадав, що він стоїть в чорній шапці. Як він це зробив?
Логічні завдання із сірниками
1. Як зробити з двох сірників десять, не ламаючи їх?
Відповідь: Скласти з них римське число Х.
2. Чи можна з трьох сірників зробити шість, не ламаючи їх?
Відповідь: Так, необхідно з них скласти римське число VІ.
3. У даній неправильній рівності необхідно перекласти один сірник, щоб рівність стала правильною: VІ + ІV = ХІІ.
Відповідь: VІІ + V = ХІІ.
4. Чи можна з чотирьох сірників зробити сім, не ламаючи їх?
Відповідь: Так, необхідно з них скласти римське число VІІ.
5. Як з 8 сірників зробити три?
Відповідь: Скласти з них слово «три».
6. Візьміть 12 сірників і викладіть з них таку «рівність»: VІ – ІV = ІХ. Рівність, як бачимо, неправильна, бо 6 - 4 не дорівнює 9. Перекладіть один сірник так, щоб утворилась правильна рівність.
Відповідь: Можливі два варіанти: V + ІV = ІХ або VІ + ІV = Х.
7. Як з 13 цілих сірників, кожний з яких має довжину 5 см, покладених один біля одного, скласти метр?
Відповідь: Скласти слово «метр».
8. У даній неправильній рівності необхідно перекласти один сірник, щоб рівність стала правильною: Х - ІХ = VІ.
Відповідь: ХІ – ІХ = ІІ.
9. Додати до чотирьох сірників п’ять так, щоб утворилося сто. Спробуйте знайти два розв’язки.
Відповідь: Скласти із сірників слово «сто», а також можна скласти число 100.
10. У даній неправильній рівності необхідно перекласти один сірник, щоб рівність стала правильною: VІІІ + ІV = ХVІІ.
Відповідь: VІІІ + ІХ = ХVІІ.
7 клас
1. Розшифрувати ребус: К І Т 2 = З А Є Ц Ь, де різним буквам відповідають різні цифри.
Відповідь. 2092 = 43681, 2592 = 67081.
2. До числа 2011 дописати справа три різні цифри, які не входять в дане число, і закреслити дві цифри так, щоб отримати найбільше число. Чому дорівнює різниця між даним і отриманим числами?
Розв’язання
2 0 1 1 9 8 7. 2011 – 1987 = 24.
Відповідь. 24.
3. Знайти знаменник дробу після його скорочення.
Розв’язання
Оскільки в чисельник входять множники 20; 40 = 20 • 2; 60 = 20 • 3; 80 = 20 • 4; …;
2000 = 20 • 100, то чисельник ділиться на 20100, а значить і на 2011. Тому після скорочення дробу вийде ціле число.
Відповідь. 1.
4. До числа 2011 і справа і зліва записати одну й ту саму цифру, щоб отримане шестицифрове число ділилося націло на 8.
Розв’язання
220112 : 8 = 27514.
Відповідь. Цифру 2.
5. Якою цифрою закінчується число 220 + 211 ?
А: 0 Б: 2 В: 4 Г: 6 Д: 8
Відповідь. Цифрою 4.
6. Якою цифрою закінчується число 2011 + 1120 ?
А: 0 Б: 1 В: 3 Г: 4 Д: 5
Відповідь. Цифрою 1.
7. Довести, що число 92011 + 1 не ділиться на 100.
Доведення
Доведемо, що друга цифра числа 92011 + 1 не нуль, тобто, що число 92011 не закінчується цифрами 99.
Відомо, що останні дві цифри добутку визначаються останніми двома цифрами множників. Випишемо останні дві цифри перших одинадцяти степенів дев’ятки :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
09 81 29 61 49 41 69 21 89 01 09
Оскільки 911 закінчується тими самими цифрами, що й 91, то надалі піднесення дев’ятки до степеня ця послідовність буде періодично повторюватися з періодом 10. Отже, останні дві цифри числа 92011 такі самі, як і в числа 91, тобто 09, а число 92011 + 1 закінчується на 09, тобто одним нулем.
8. Чи ділиться число 72011 – 2011 на 5 ?
Розв’язання
72011 = 72008 • 73 = 74 • 502 • 343 = (2401)502 • 343.
2401п – закінчується цифрою 1. Відповідно число 2401502 • 343 закінчується на 3. Тому 72011 – 2011 закінчується цифрою 2, а отже, не ділиться на 5 ?
Відповідь. Не ділиться.
9. Довести, що число 20112011 + 4 – складене.
Розв’язання
Число 20112011 закінчується цифрою 1, тому число 20112011 + 4 закінчується цифрою 5, тобто воно кратне 5.
10. Яке найменше невід’ємне число можна отримати шляхом розстановки знаків «+» і «-» між числами 1; 2; 3; 4; …; 2009; 2010; 2011 ?
Розв’язання
Очевидно, що результат буде цілим числом, причому парним (1005 парних чисел і 1006 непарних).
Якщо в четвірці чисел п, п + 1, п + 2, п + 3 розставити знаки таким чином:
п – (п + 1) – (п + 2) + (п + 3), то в сумі вийде 0. Розставимо таким способом знаки в четвірках: (4; 5; 6; 7), (8; 9; 10; 11), …, (2008; 2009; 2010; 2011), а між четвірками поставимо знаки «+». Значення такої суми дорівнює 0. Залишається поставити знаки «+» і «-» між числами 1, 2 і 3. Маємо 1 + 2 – 3 = 0.
Отже, значення всього виразу дорівнює 0.
Відповідь. 0.
11. Скільки існує шестизначних чисел, які починаються з 2011 і діляться на 2, 3, 4, 5 і 6 ?
Відповідь. Два числа: 201120 і 201180.